Gofod ewcleidd: cysyniad, eiddo, arwyddion

Yn ôl yn yr ysgol, mae pob myfyriwr yn adnabod y cysyniad o "geometreg ewclidig", y mae'r prif ddarpariaethau yn canolbwyntio ar sawl axiom, yn seiliedig ar elfennau o'r fath geometrig fel pwynt, awyren, llinell, symudiad. Mae pob un ohonynt ar ffurf gyfansawdd yr hyn a fu'n hysbys ers y term "Space Euclidean".

Mae'r gofod ewclidiaid , y mae ei ddiffiniad wedi'i seilio ar y lluosi sgalar o fectorau, yn achos arbennig o ofod llinellol (affin) sy'n bodloni nifer o ofynion. Yn gyntaf, mae cynnyrch scalar y fectorau yn gwbl gymesur, hynny yw, mae'r fector gyda'r cyfesurynnau (x; y) yn feintiol yr un fath â'r fector gyda'r cyfesurynnau (y; x), fodd bynnag, mae gyferbyn yn y cyfeiriad.

Yn ail, os yw cynnyrch sgalar y fector yn cael ei gynhyrchu gyda'i hun, bydd canlyniad y weithred hon yn gadarnhaol. Yr unig eithriad yw'r achos pan fo cydlyniad cychwynnol a derfynol y fector hwn yn sero: yn yr achos hwn, a bydd ei gynnyrch gyda'i hun yn gyfartal â sero.

Yn drydydd, mae yna ddosbarthiad o'r cynnyrch scalar, hynny yw, y posibilrwydd o ddadelfennu un o'i gyfesurynnau yn swm o ddau werthoedd, nad yw'n golygu unrhyw newidiadau yng nghanlyniad terfynol lluosi sgalar o fectorau. Yn olaf, yn bedwerydd, pan fo'r fectorau'n cael eu lluosi gan yr un nifer go iawn, bydd eu cynnyrch sgalar hefyd yn cynyddu gan yr un ffactor.

Os bydd yr holl bedwar cyflwr hyn yn cael eu bodloni, gallwn ddweud yn hyderus bod gennym ni le Euclidean o'n blaenau.

Gall yr enghreifftiau concrid canlynol fod yn nodweddiadol o le ewclïaid o'r mannau ymarferol:

1. Yr achos symlaf yw presenoldeb set o fectorau gyda chynnyrch sgalar a ddiffinnir gan ddeddfau sylfaenol geometreg.
2. Ceir lle ewclidig hefyd yn yr achos pan mae vectorau yn golygu set gyfyngedig o rifau gwirioneddol penodol gyda fformiwla benodol yn disgrifio eu swm neu gynnyrch graddol.
3. Achos arbennig o ofod Euclidig yw'r lle sero a elwir yn hynod, a geir os yw hyd sgalar y ddau fectur yn sero.

Mae gan ofod ewclidig nifer o eiddo penodol. Yn gyntaf, gellir cymryd y lluosydd sgalar allan o rhediadau o'r cyntaf ac o'r ail gyd-ffactor o'r cynnyrch sgalar, ni fydd canlyniad hyn yn cael ei wneud o gwbl. Yn ail, ynghyd â dosbarthu'r elfen gyntaf o gynnyrch scalar, mae dosbarthiad yr ail elfen hefyd yn gweithredu. Yn ogystal, yn ychwanegol at y swm scalar o fectorau, mae dosbarthedd hefyd yn digwydd yn achos tynnu vectorau. Yn olaf, yn y trydydd, gyda lluosiad sgalar y fector gan sero, bydd y canlyniad hefyd yn sero.

Felly, y gofod ewclydeidd yw'r cysyniad geometrig pwysicaf a ddefnyddir wrth ddatrys problemau gyda chyfeiriadau cymharol o fectorau o'i gymharu â'i gilydd, ar gyfer cymeriad y mae syniad yn cael ei ddefnyddio fel cynnyrch sgalar.