Gwahaniaethau - beth yw hyn? Sut i ddod o hyd y gwahaniaeth y swyddogaeth?

Ynghyd â deilliadau eu swyddogaethau gwahaniaethau - mae'n rhai o'r cysyniadau sylfaenol y calcwlws differol, y brif adran dadansoddi mathemategol. Fel cysylltu'n annatod, y ddau ohonynt yn nifer o ganrifoedd ddefnyddir yn eang yn datrys bron pob problemau a gododd yn ystod y gweithgaredd gwyddonol a thechnegol.

Mae ymddangosiad y cysyniad o gwahaniaethol

Am y tro cyntaf yn ei gwneud yn glir bod gwahaniaeth o'r fath, un o sylfaenwyr (ynghyd â Isaakom Nyutonom) gwahaniaethol calcwlws mathemategydd enwog o'r Almaen Gotfrid Vilgelm Leybnits. Cyn hynny mathemategwyr 17eg ganrif. Defnyddir syniad aneglur ac amwys iawn o rai orfychan "anwahanedig" unrhyw swyddogaeth hysbys, yn cynrychioli gwerth cyson fach iawn ond nid yn hafal i sero, isod sy'n gwerthfawrogi na all y swyddogaeth fod yn syml. Felly dim ond un cam i gyflwyno syniadau o cynyddrannau orfychan o ddadleuon swyddogaeth a'u cynyddiadau priodol y swyddogaethau y gellir eu mynegi yn nhermau deilliadau yr olaf. Ac mae hyn yn cam cymerwyd bron yr un pryd y ddau uchod wyddonwyr gwych.

Yn seiliedig ar yr angen i fynd i'r afael â phroblemau mecaneg ymarferol brys sy'n wynebu gwyddoniaeth yn gyflym datblygu diwydiant a thechnoleg, a grëwyd Newton a Leibniz ffyrdd cyffredin o ddod o hyd swyddogaethau'r gyfradd newid (yn enwedig o ran cyflymder mecanyddol y corff y llwybr hysbys), a arweiniodd at gyflwyno cysyniadau o'r fath, gan fod y swyddogaeth deilliadol a'r gwahaniaethol, ac yn dod o hyd hefyd y datrysiadau problem gwrthdro algorithm fel hysbys se (amrywiol) y cyflymder croesi'r i ddod o hyd i'r llwybr sydd wedi arwain at y cysyniad o integrol Ala.

Yn weithiau Leibniz a Newton syniad yn gyntaf yn ymddangos bod y gwahaniaethau - yn gymesur â gynyddiad o'r dadleuon sylfaenol H ychwanegiadau swyddogaethau Δu y gellir eu cymhwyso yn llwyddiannus i gyfrifo gwerth yr olaf. Mewn geiriau eraill, eu bod wedi darganfod y gall swyddogaeth cynyddiad fod ar unrhyw adeg (o fewn ei barth diffiniad) yn cael ei fynegi drwy ei ddeilliad ddau Δu = y '(x) H + αΔh lle α H - gweddill, tueddu i sero fel H → 0, yn gynt o lawer na'r gwir H.

Yn ôl sylfaenwyr dadansoddiad mathemategol, mae'r gwahaniaethau - mae hyn yn union y tymor cyntaf yn ychwanegiadau unrhyw swyddogaethau. Hyd yn oed heb gael eu diffinio'n glir dilyniannau cysyniad terfyn yn cael eu deall yn reddfol bod gwerth gwahaniaethol y deilliad yn tueddu i weithredu pan H → 0 - Δu / H → y '(x).

Yn wahanol i Newton, a oedd yn bennaf yn ffisegydd a chyfarpar mathemategol ystyried fel arf ategol ar gyfer astudio problemau corfforol, talu Leibniz mwy o sylw i pecyn cymorth hwn, gan gynnwys system o symbolau gweledol a dealladwy gwerthoedd mathemategol. Ef a gynigiodd y nodiant safonol dy ffwythiant gwahaniaethau = y '(x) dx, dx, a deilliad y swyddogaeth ddadl wrth i'w perthynas y' (x) = dy / dx.

Mae'r diffiniad modern

Beth yw'r gwahaniaeth o ran mathemateg modern? Mae'n perthyn yn agos i'r cysyniad o gynyddiad amrywiol. Os bydd y newidyn y cymryd gwerth cyntaf o y y = _1, yna y = y _2, gelwir y gwahaniaeth y ₂ ─ y ₁ yn cael ei werth cynyddiad y. Gall y cynyddiad fod yn bositif. negyddol ac yn sero. Mae'r gair "cynyddiad" ei ddynodi Δ, Δu cofnodi (darllenwch 'y delta') yn dynodi gwerth y cynyddiad y. felly Δu = y ₂ ─ y _1.

Os gall gwerth Δu swyddogaeth mympwyol y = f (x) yn cael eu cynrychioli fel Δu = A H + α, lle mae A oes unrhyw ddibyniaeth ar H, t. E. A = Etholaeth gyfer x a roddir, ac mae'r α tymor pan H → 0 yn tueddu i mae hyd yn oed yn gyflymach nag y gwir H, yna'r cyntaf ( "meistr") tymor cyfrannol H, ac mae ar gyfer (x) gwahaniaethol y = f, a ddynodir dy neu df (x) (darllenwch "the de", "de eff o X"). Felly gwahaniaethau hefyd - yn "brif" llinol o ran y cydrannau cynyddrannau swyddogaethau H.

esboniad mecanyddol

Gadewch s = f (t) - y pellter mewn llinell syth yn symud pwynt deunydd o'r safle cychwynnol (t - amser teithio). Cynyddiad Δs - yw'r man ffordd yn ystod cyfnod amser Δt, ac mae'r ds gwahaniaethol = f '(t) Δt - y llwybr hwn, a fyddai pwynt cael ei gynnal ar gyfer yr un pryd Δt, os yw'n gadw cyflymder f' (t), cyrhaeddodd ar amser t . Pan fydd Δt ds lwybr dychmygol orfychan wahanol i'r gwir Δs infinitesimally cael uwch mewn perthynas â Δt. Os na fydd y cyflymder ar y pryd t yn hafal i sero, mae'r ds bras werth rhoi pwynt rhagfarn bach.

dehongliad geometrig

Gadewch i'r llinell L yw y graff y = f (x). Yna Δ x = MQ, Δu = Marc Ansawdd '(gweler. Ffigur isod). Tangiad MN torri torri Δu yn ddwy ran, QN a NM '. Gyntaf ac H yn gyfrannol QN = MQ ∙ TG (QMN ongl) = H f '(x), t. E QN yn gwahaniaethol dy.

Mae ail ran y gwahaniaeth Δu NM'daet ─ dy, pan H hyd → 0 NM 'yn gostwng hyd yn oed yn gyflymach nag y cynyddiad y ddadl, hy mae wedi y drefn bychander uwch na H. Yn yr achos hwn, os '(x) ≠ 0 (OX tangiad heb cyfochrog) segmentau f QM'i QN gyfwerth; mewn geiriau eraill NM 'yn gostwng yn gyflym (trefn bychander o'i uwch) na'r cyfanswm hicyn Δu = QM'. Mae hyn yn amlwg yn Ffigur (agosáu segment M'k M NM'sostavlyaet pob canran segment QM 'llai).

Felly, graffigol gwahaniaethol swyddogaeth mympwyol yn hafal i'r cynyddiad o drefnu y tangiad.

Deilliadol a gwahaniaethol

Un ffactor yn y tymor cyntaf o swyddogaeth cynyddiad mynegiant yn hafal i werth ei f deilliadol '(x). Felly, mae'r cysylltiad canlynol - dy = f '(x) H neu df (x) = f' (x) H.

Mae'n hysbys bod y cynyddiad y ddadl annibynnol yn hafal i'w gwahaniaethol H = dx. Yn unol â hynny, gallwn ysgrifennu: f '(x) dx = dy.

Dod o hyd i (dweud weithiau i fod yn "benderfyniad") gwahaniaethau yn cael ei berfformio gan yr un rheolau ag ar gyfer y deilliadau. Mae rhestr ohonynt isod.

Yr hyn sy'n fwy cyffredinol: y cynyddiad y ddadl na'i wahaniaethol

Yma, mae angen gwneud rhai eglurhad. Cynrychiolaeth gwerth f '(x) gwahaniaethol H bosibl wrth ystyried x fel dadl. Ond gall y swyddogaeth fod yn gymhleth, lle gall x fod yn swyddogaeth o'r t ddadl. Yna cynrychiolaeth y mynegiant gwahaniaethol o f '(x) H, fel rheol, nid oes modd; ac eithrio yn achos o ddibyniaeth llinol x = ar + b.

O ran y fformiwla f '(x) dx = dy, ac yna yn achos dadl x annibynnol (hynny dx = H) yn achos y ddibyniaeth paramedrig x t, mae'n gwahaniaethol.

Er enghraifft, mae'r ymadrodd 2 x H ar gyfer y = x ² ei gwahaniaethol pan fydd x yn ddadl. Rydym bellach yn x = t ² a thybio t dadl. Yna y = x ² = t ^4.

Mae hyn yn cael ei ddilyn gan (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Felly H = 2tΔt + Δt ^2. Felly: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Nid yw'r ymadrodd hwn yn gymesur â'r Δt, ac felly yn awr nid 2xΔh yn gwahaniaethol. Gellir dod o hyd o'r hafaliad y = x ² = t ^4. Mae'n gyfartal dy = 4T ³ Δt.

Os byddwn yn cymryd y 2xdx mynegiant, y gwahaniaeth y = x ² ar gyfer unrhyw t dadl. Yn wir, pan x = t ² cael dx = 2tΔt.

Felly 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, t. E. Mae'r gwahaniaethau mynegiant gofnodi gan ddau newidyn gwahanol yn cyd-daro.

Amnewid codiadau gwahaniaethau

Os f '(x) ≠ 0, yna Δu a dy cyfatebol (pan H → 0); os f '(x) = 0 (ystyr a dy = 0), nid ydynt yn cyfateb.

Er enghraifft, os y = x ^2, yna Δu = (x + H) ² ─ x ² = 2xΔh + H ² a dy = 2xΔh. Os x = 3, yna mae gennym Δu = 6Δh + H ² a dy = 6Δh sy'n cyfateb ddyledus H ² → 0, pan nad yw x = 0 Gwerth Δu = H ² a dy = 0 yn gyfwerth.

Mae'r ffaith hon, ynghyd â strwythur syml o'r gwahaniaeth (m. E. llinoledd mewn perthynas â H), yn cael ei ddefnyddio yn aml yn y cyfrifiad bras, ar y rhagdybiaeth bod Δu ≈ dy ar gyfer H bach. Dewch o hyd i'r swyddogaeth gwahaniaethol fel arfer yn haws nag i gyfrifo union werth y cynyddiad.

Er enghraifft, rydym wedi ciwb metelaidd gyda ymyl x = 10.00 cm. Wrth gael ei wresogi ymyl hymestyn ar H = 0.001 cm. Sut cynyddu cyfaint ciwb V? Mae gennym V = x ^2, fel y dV = 3x ² = H 3 ∙ ∙ ¹⁰ Chwefror 0/01 = 3 (cm ^3). Mwy gwahaniaethol sy'n cyfateb ΔV dV, fel bod ΔV = 3 cm ^3. Byddai cyfrifiad llawn yn rhoi ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ Mawrth = 3.003001. Ond mae'r canlyniad pob digidau ar wahân i'r annibynadwy cyntaf; Felly, mae'n dal yn angenrheidiol i rownd hyd at 3 cm ^3.

Yn amlwg, mae'r dull hwn yn ddefnyddiol dim ond os yw'n bosibl amcangyfrif gwerth imparted gyda gwall.

Swyddogaeth gwahaniaethol: Enghreifftiau

Gadewch i ni geisio dod o hyd i'r gwahaniaeth y swyddogaeth y = x ^3, dod o hyd i'r deilliadol. Gadewch inni roi i'r gynyddran ddadl Δu a diffinio.

Δu = (H + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + H (H 3xΔh ² + ^3).

Yma, nid yw'r cyfernod A = 3x ² yn dibynnu ar H, fel bod y tymor cyntaf yn gyfrannol H, yr aelod arall 3xΔh H ² + ³ pan H → 0 yn gostwng yn gyflymach nag y cynyddiad y ddadl. O ganlyniad, yn aelod o 3x ² H yn y gwahaniaeth y = x ^3:

dy = 3x ² H = 3x ² dx neu d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Wherein d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Rydym bellach yn dod o hyd y swyddogaeth y = 1 / x gan y deilliadol. Yna d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Felly dy = ─ H / x ^2.

Gwahaniaethau ffwythiannau algebraidd sylfaenol isod.

amcangyfrif cyfrifiadau gan ddefnyddio gwahaniaethol

Gwerthuso'r f ffwythiant (x), ac mae ei f deilliadol '(x) am x = a yn anodd yn aml, ond i wneud yr un peth yng nghyffiniau x = nid yw'n hawdd. Yna dewch i chymorth y mynegiant bras

f (a + H) ≈ f '(a) H + f (a).

Mae hyn yn rhoi bras werth y ffwythiant yn cynyddrannau bach drwy ei gwahaniaethol H f '(a) H.

Felly, y fformiwla hon yn rhoi mynegiad bras ar gyfer y swyddogaeth yn y pwynt ddiwedd y cyfran o H hyd fel swm o'i werth ar y man cychwyn ar y rhan (x = a) ac mae'r gwahaniaeth yn yr un man cychwyn. Cywirdeb y dull o bennu gwerthoedd y swyddogaeth isod yn dangos y llun.

Fodd bynnag, yn hysbys ac mae'r union fynegiad ar gyfer gwerth y ffwythiant x = a + H roddir fesul hicyn cyfyngedig fformiwla (neu, fel arall, fformiwla Lagrange yn)

f (a + H) ≈ f '(ξ) H + f (a),

lle mae'r pwynt x = a + ξ yn y cyfwng o x = a i x = a + H, er bod ei union leoliad yn hysbys. Mae'r fformiwla union yn caniatáu i werthuso camgymeriad y fformiwla bras. Os byddwn yn ei roi yn y fformiwla Lagrange ξ = H / 2, er ei fod yn rhoi'r gorau i fod yn gywir, ond mae'n rhoi, fel rheol, dull llawer gwell na'r mynegiant gwreiddiol o ran y gwahaniaeth.

fformiwlâu Gwerthuso gwall drwy wneud cais gwahaniaethol

Offerynnau mesur , mewn egwyddor, yn anghywir, ac yn dod at y data mesur cyfateb i'r gwall. Maent yn cael eu nodweddu gan gyfyngu ar y camgymeriad absoliwt, neu, yn fyr, y terfyn gwall - cadarnhaol, yn fwy na glir y gwall mewn gwerth absoliwt (neu ar y mwyaf yn gyfartal iddo). Cyfyngu y gwall cymharol gelwir y cyniferydd a geir drwy rannu iddo gan werth absoliwt o werth fesur.

Gadewch i fformiwla union y = f (x) swyddogaeth a ddefnyddir i vychislyaeniya y, ond mae gwerth o x yn ganlyniad mesur, ac felly yn dod â'r y gwall. Yna, i ddod o hyd i'r cyfyngu gwall absoliwt │Δu│funktsii y, gan ddefnyddio'r fformiwla

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

lle │Δh│yavlyaetsya gwall ymylol ddadl. Rhaid │Δu│ maint eu talgrynnu i fyny, fel y cyfrifo anghywir ei hun yn newid y cynyddiad ar y cyfrifiad gwahaniaethol.