Calcwlws gwahaniaethol o swyddogaethau'r un a sawl newidynnau

calcwlws gwahaniaethol yn gangen o ddadansoddiad mathemategol, sy'n archwilio'r deilliadol, gwahaniaethau a'u defnydd yn yr astudiaeth o swyddogaethau.

Mae stori

calcwlws differol i'r amlwg fel disgyblaeth annibynnol yn ail hanner y 17eg ganrif, diolch i waith Newton a Leibniz, a luniodd y darpariaethau sylfaenol wrth gyfrifo gwahaniaethau a sylwi ar y cysylltiad rhwng integreiddio a gwahaniaethu. Ers ddisgyblaeth datblygodd ynghyd â chyfrifo integrynnau, a thrwy hynny sy'n gwneud y sail y dadansoddiad mathemategol. Mae ymddangosiad calculi hyn agorodd cyfnod modern newydd yn y byd mathemategol a achosodd ymddangosiad disgyblaethau newydd mewn gwyddoniaeth. ymestyn hefyd y posibilrwydd o gymhwyso mathemateg yn y gwyddorau naturiol a pheirianneg.

cysyniadau sylfaenol

calcwlws gwahaniaethol yn seiliedig ar y cysyniadau sylfaenol mathemateg. Y rhain yw: mae nifer go iawn, parhad a terfyn o swyddogaeth. Ar ôl cyfnod, maent wedi cymryd golwg fodern, diolch i calcwlws annatod a gwahaniaethol.

Mae'r broses o greu

Ffurfio y calcwlws differol ar ffurf cais, ac yna y dull gwyddonol ddigwyddodd cyn ymddangosiad theori athronyddol, a gafodd ei greu gan Nikolay Kuzansky. Ystyrir ei waith yn ddatblygiad esblygol o wyddoniaeth hynafol o farn. Er gwaethaf y ffaith nad oedd yr athronydd ei hun yn mathemategydd, ei gyfraniad i ddatblygiad gwyddoniaeth mathemategol yn ddiymwad. Cusa, un o'r cyntaf allan o ystyriaeth o'r rhifyddeg fel y wyddoniaeth mwyaf cywir, mathemateg rhoi'r amser ei gwestiynu.

Yn mathemategwyr hynafol maen prawf cyffredinol yn uned, tra bod yr athronydd arfaethedig fel anfeidredd mesur newydd ddychwelyd union nifer. Mewn cysylltiad â hyn chynrychiolaeth inverted o gywirdeb mewn gwyddoniaeth fathemategol. gwybodaeth wyddonol, yn ei farn ef, wedi ei rhannu'n rhesymegol a deallus. Mae'r ail yn fwy cywir, yn ôl y gwyddonydd, gan fod y cyntaf yn rhoi canlyniadau bras yn unig.

syniad

Y syniad sylfaenol a'r cysyniad o calcwlws differol sy'n gysylltiedig â'r swyddogaeth mewn cymdogaeth fechan o rai pwyntiau. Ar gyfer hyn mae angen i greu offer mathemategol i weithredu astudiaethau y mae eu hymddygiad mewn cymdogaeth fechan o bwyntiau gosod yn agos at ymddygiad swyddogaeth llinol neu polynomial. Yn seiliedig ar y diffiniad hwn o deilliadol a gwahaniaethol.

Mae ymddangosiad y cysyniad y deilliad ei achosi gan nifer fawr o broblemau y gwyddorau naturiol a mathemateg, a arweiniodd at benderfynu gwerthoedd terfyn o'r un math.

Un o'r prif dasgau a roddir fel enghraifft, gan ddechrau gyda'r dosbarthiadau ysgolion hynaf, yw penderfynu ar y cyflymder o gynnig o bwynt mewn llinell syth ac mae'r llinell tangiad i gromlin hon adeiladu. Mae'r gwahaniaeth yn gysylltiedig â hyn, gan ei bod yn bosibl i amcangyfrif y swyddogaeth mewn cymdogaeth fechan o'r pwynt swyddogaeth llinol.

O'i gymharu â'r cysyniad o deilliad ffwythiant o newidyn go iawn, y diffiniad o gwahaniaethau yn syml yn mynd ar y swyddogaeth o natur gyffredinol, yn enwedig y ddelwedd o ofod Ewclidaidd i un arall.

deilliadol

Gadewch y pwynt yn symud i gyfeiriad echelin, am y tro rydym yn cymryd x, sy'n cael ei fesur o ddechrau'r eiliad. Disgrifio symudiad o'r fath yn bosibl gan y y = f ffwythiant (x), sy'n gysylltiedig â phob pwynt x amser gydlynu pwynt displaceable. Mae'r alwad swyddogaeth mewn mecaneg i gymryd y gyfraith o gynnig. Prif nodwedd y cynnig, yn enwedig anwastad, yn y cyflymder enydaidd. Pan fydd y pwynt yn cael ei symud ar hyd yr echelin-y yn ôl y gyfraith mecaneg, y pwynt amser hap mae'n caffael cydlynu x f (x). Yn yr amser pwynt x + H, lle mae H yn cynrychioli y cynyddiad o amser, bydd yn kordinaty f (x + H). fformiwla Felly ffurfiwyd Δy = f (x + H) - f (x), a elwir yn swyddogaeth cynyddiad. Mae'n bwynt y llwybr groesi yn ystod yr amser o x i x + H.

Mewn cysylltiad â digwyddiad y cyflymder ar deilliad amser yn cael ei weinyddu. Mae deilliadol unrhyw swyddogaeth ar bwynt sefydlog a elwir y terfyn (gan dybio ei fod yn bodoli). Gellir ei gyfeirio at rai cymeriadau:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, DF (x).

Mae'r broses o gyfrifo deilliad gwahaniaethu alwad.

calcwlws gwahaniaethol o swyddogaethau'r sawl newidynnau

Mae'r dull hwn yn cael ei gymhwyso wrth gyfrifo astudiaeth swyddogaeth, nifer o newidynnau. Pan mae dau newidyn x ac y, deilliad rhannol mewn perthynas ag x yn y pwynt A elwir yn y deilliad ffwythiant hwn mewn x gyda y sefydlog.

Gall gael ei nodi gan y symbolau canlynol:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x a ∂f (x, y) '/ ∂x.

sgiliau sydd eu hangen

Er mwyn dysgu llwyddiannus a gallu datrys sgiliau sydd eu hangen diffury mewn integreiddio a gwahaniaethu. I'w gwneud yn haws i ddeall y hafaliadau differol, mae'n rhaid eu deall pwnc deilliadol ac amhenodol annatod. Nid yw ychwaith yn brifo i ddysgu sut i edrych am y deilliad y swyddogaeth ymhlyg. Mae hyn oherwydd y ffaith y bydd yn y broses o ddysgu yn aml yn defnyddio integrynnau a gwahaniaethu.

Mathau o hafaliadau differol

Mae bron yr holl waith rheoli sy'n gysylltiedig â hafaliadau differol trefn un, mae 3 math o hafaliadau: homogenaidd, gyda newidynnau gwahanadwy, llinol inhomogeneous.

Mae yna hefyd rhywogaethau hafaliadau mwy prin gyda chyfanswm gwahaniaethau, hafaliad Bernoulli, ac eraill.

datrysiadau Hanfodion

I ddechrau, dylem gofio yw hafaliad algebraidd o gwrs yr ysgol. Maent yn cynnwys y newidynnau a rhifau. Er mwyn datrys yr hafaliad confensiynol dylid dod o hyd i ddigon o rifau sy'n bodloni amod penodol. Yn nodweddiadol, hafaliadau hyn wedi un gwreiddyn, ac ar gyfer dilysu dim ond yn lle gwerth hwn i'w lle anhysbys.

Mae'r hafaliad differol yn debyg i hyn. Yn gyffredinol, mae hafaliad y gorchymyn cyntaf yn cynnwys:

• newidyn annibynnol.
• Mae deilliadol y swyddogaeth gyntaf.
• Swyddogaeth neu newidyn dibynnol.

Mewn rhai achosion, efallai na fydd unrhyw un yn anhysbys, x neu y, ond nid yw mor bwysig gan ei bod yn angenrheidiol i gael y deilliad cyntaf, heb unrhyw deilliadau uwch i'r ateb a chalcwlws differol yn wir.

Datryswch yr hafaliad differol - mae'n ei olygu i ddod o hyd i'r set o'r holl swyddogaethau sy'n fynegiant a roddir yn addas. Yn aml gelwir setiau o'r fath swyddogaethau rheoli datrysiad cyffredinol.

calcwlws annatod

calcwlws annatod yn un o'r adrannau dadansoddi mathemategol, sy'n archwilio cysyniad annatod, priodweddau a dulliau o'i gyfrifo.

Yn aml, y cyfrifiad o'r annatod yn digwydd wrth gyfrifo arwynebedd siâp cromlinog. Erbyn hyn yn golygu ardal terfyn, tuag y gall ardal a bennwyd ymlaen llaw o siâp polygon harsgrifio â'r cynnydd graddol yn ei law, a'r ochr data yn cael ei wneud yn llai nag unrhyw werth bach mympwyol a nodir yn flaenorol.

Y prif syniad wrth gyfrifo arwynebedd unrhyw siâp geometrig yn cyfrifo arwynebedd petryal, yna mae tystiolaeth bod ei ardal yn hafal i gynnyrch hyd gan led. Pan ddaw i geometreg, yna yr holl cystrawennau yn cael eu gwneud gan ddefnyddio pren mesur a chwmpawd, ac yna y gymhareb o hyd i led yn werth rhesymegol. Gall Wrth gyfrifo arwynebedd triongl ongl yn cael ei benderfynu, os byddwch yn rhoi triongl nesaf, petryal yn cael ei ffurfio. Yn ardal y paralelogram yn cael eu cyfrifo mewn dull tebyg ond ychydig yn fwy cymhleth, o fewn petryal a thriongl. Yn yr ardal o polygon yn cael ei ystyried gan drionglau cynnwys ynddo.

Wrth benderfynu drugaredd mympwyol, nid yw'r dull hwn yn cyd-fynd y gromlin. Os ydym yn ei dorri i mewn i sgwariau unigol, bydd yn parhau i fod yn lleoedd heb eu llenwi. Yn yr achos hwn, ceisiwch ddefnyddio dau cotiau, gyda petryalau uwchben ac o dan, o ganlyniad i hynny yn cynnwys y graff y swyddogaeth ac nid yw'n cynnwys. Bwysig yma yn ffordd i dorri petryalau hyn. Hefyd, os byddwn yn cymryd y seibiant yn fwy a mwy llai, dylai'r ardal y top a gwaelod yn cydgyfarfod ar werth penodol.

Dylai ddychwelyd i'r dull ar gyfer gwahanu betryalau. Mae dau ddull poblogaidd.

Roedd Riemann ffurfioli diffiniad o'r annatod, a grëwyd gan Leibniz a Newton, fel yr ardal o subgraph. Yn yr achos hwn, rydym yn ystyried ffigwr sy'n cynnwys nifer penodol o petryalau fertigol a geir drwy rannu cyfwng. Wrth dorri gostyngiad mae terfyn y mae ardal lai o ffigwr o'r fath, a elwir yn y terfyn hwn yn yr integryn Riemann swyddogaeth mewn cyfnod penodedig.

Mae ail ddull yw i adeiladu'r Lebesgue annatod, sy'n cynnwys yn y ffaith bod yn y lle gwahanu ardal ddynodedig ar ran o'r integrand a chrynhoi yna swm annatod o'r gwerthoedd a gafwyd yn y rhannau hyn, ar adegau rhannu ei ystod o werthoedd, ac yna Crynhodd â'r mesurau cyfatebol delweddau gwrthdro integrynnau hyn.

cymhorthion modern

Un o brif fanteision ar gyfer astudio gwahaniaethol a chalcwlws annatod Fikhtengol'ts Ysgrifennodd - "y gwahaniaeth a chalcwlws annatod." Mae ei werslyfr yn offeryn hanfodol ar gyfer astudio dadansoddiad mathemategol, sy'n gwrthsefyll llawer o argraffiadau a chyfieithiadau i ieithoedd eraill. Crëwyd ar gyfer myfyrwyr ac am amser hir defnyddio mewn amrywiaeth o sefydliadau addysgol fel un o brif fanteision yr astudiaeth. Mae'n rhoi gwybodaeth ddamcaniaethol a sgiliau ymarferol. Cyhoeddwyd gyntaf yn 1948.

swyddogaeth ymchwil Algorithm

I archwilio dulliau o swyddogaeth calcwlws differol, mae angen i chi ddilyn eisoes rhoddir algorithm:

1. Dewch o hyd i'r parth y swyddogaeth.
2. Dod o hyd i wreiddiau'r hafaliad a roddir.
3. Cyfrifwch y eithafion. Er mwyn gwneud hyn, rydym yn cyfrifo'r deilliadol a'r pwynt lle mae'n yn hafal i sero.
4. Rydym yn rhodder y gwerth a geir yn EQ.

Amrywiaethau o hafaliadau differol

Rheoli y gorchymyn cyntaf (fel arall, gwahaniaethol calcwlws o un newidyn) a'u math:

• Gyda newidynnau gwahanadwy hafaliad: f (y) dy = g (x) dx.
• Mae'r hafaliad differol neu swyddogaeth calcwlws symlaf o un newidyn, ar ôl y fformiwla: y '= f (x).
• Mae'r llinol-gorchymyn cyntaf reolaeth nonuniform: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli hafaliad differol: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Hafaliad cyfanswm wahaniaethau gyda: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Mae'r hafaliadau differol ail drefn a'u math:

• hafaliad differol ail orchymyn llinol homogenaidd gyda ^{chyfernodau cyson: y n + py '+ qy} = 0 p, q yn perthyn R.
• Inhomogeneous llinol ail orchymyn hafaliad differol gyda chyfernodau cyson ^{gwerth: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogenaidd llinol ^{hafaliad differol: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, ac yn inhomogeneous ail ^{hafaliad trefn: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

hafaliadau differol o orchmynion uwch a'u math:

• Mae'r hafaliad differol, gan ganiatáu gostyngiad y ^{gorchymyn: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Mae hafaliad llinol o drefn uwch ^{_{homogenaidd: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, ac yn ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Cyfnodau o ddatrys y broblem gyda'r hafaliad differol

Gyda chymorth y teclyn rheoli o bell yn cael eu datrys, nid yn unig mathemateg neu broblemau corfforol, ond hefyd y problemau amrywiol o fioleg, economeg, cymdeithaseg ac eraill. Er gwaethaf yr amrywiaeth eang o bynciau, dylai ddilyn trefn rhesymeg sengl ar gyfer datrys y problemau hyn:

1. Llunio rheolaeth. Un o'r camau mwyaf anodd, sy'n gofyn cywirdeb mwyaf posibl, gan y bydd unrhyw gamgymeriad yn arwain at ganlyniadau hollol anghywir. Mae angen cymryd i ystyriaeth yr holl ffactorau sy'n effeithio ar y broses a phenderfynu ar amodau cychwynnol. Dylai hefyd fod yn seiliedig ar ffeithiau a chasgliadau rhesymegol.
2. Ar gyfer datrys hafaliadau. Mae'r broses hon yn haws i'r pwynt cyntaf, gan ei fod yn ei gwneud yn ofynnol dim ond gweithredu llym o gyfrifiadau mathemategol.
3. Dadansoddi a gwerthuso canlyniadau. Dylid ateb sy'n deillio yn cael ei asesu ar gyfer gosod gwerth ymarferol a damcaniaethol y canlyniad.

Un enghraifft o'r defnydd o gwahaniaethol hafaliadau mewn meddygaeth

Gan ddefnyddio'r teclyn rheoli o bell ym maes meddygaeth yn dod o hyd yn y model mathemategol epidemiolegol adeiladu. Ni ddylem anghofio bod hafaliadau hyn hefyd i'w cael mewn bioleg a chemeg, sy'n agos at y feddyginiaeth, gan ei fod yn chwarae rhan bwysig astudio gwahanol boblogaethau biolegol a prosesau cemegol yn y corff dynol.

Yn yr enghraifft hon, gall yr epidemig lledaenu haint yn cael ei drin mewn cymuned ynysig. Mae'r trigolion yn cael eu rhannu'n dri math:

• Wedi'u heintio, mae nifer y x (t), a oedd yn cynnwys unigolion, cludwyr heintus, pob un ohonynt yn heintus (cyfnod deori yn fyr).
• Yr ail fath yn cynnwys dueddol o unigolion y (t), y gellir eu heintio drwy gysylltiad ag heintio.
• Y trydydd math yn cynnwys unigolion gwresrwystrol z (t), sy'n cael eu imiwnedd neu eu colli oherwydd salwch.

Nifer o unigolion yn gyson, cadw geni, marwolaethau a mudo naturiol ni ystyrir. Wrth wraidd bydd dau damcaniaethau.

Mae canran y nifer yr achosion mewn man amser penodol yn hafal i x (t) y (t) (yn seiliedig y rhagdybiaeth ar y ddamcaniaeth bod y nifer o achosion yn gymesur â nifer y croestoriadau rhwng cleifion ac aelodau agored, sydd yn y brasamcan cyntaf mewn cyfrannedd x (t) y (t)), yn felly, mae nifer yr achosion yn cynyddu, ac mae nifer y gostyngiadau tueddol ar gyfradd sy'n cael ei gyfrifo gan y fformiwla fwyell (t) y (t) (a> 0).

Nifer yr anifeiliaid heb ymateb a fu farw neu imiwnedd caffael, cynyddu ar raddfa sy'n gymesur â nifer yr achosion, bx (t) (b> 0).

O ganlyniad, gallwch sefydlu system o hafaliadau gyda'r holl tri dangosydd ar sail ei gasgliadau.

defnydd ENGHRAIFFT economeg

calcwlws gwahaniaethol yn cael ei ddefnyddio yn aml mewn dadansoddiad economaidd. Y brif dasg yn y dadansoddiad economaidd yn cael ei ystyried i fod yn astudiaeth o werthoedd yr economi, sy'n cael eu cofnodi yn y ffurf y swyddogaeth. Mae'n cael ei ddefnyddio wrth ddatrys problemau megis newidiadau mewn cynnydd yn y dreth incwm yn syth ar ôl, ffioedd mynediad, newidiadau mewn refeniw wrth newid gwerth y cynnyrch, yn yr hyn y gyfran yn cael ei disodli gan weithwyr sydd wedi ymddeol gydag offer newydd. Er mwyn datrys problemau o'r fath, mae'n ofynnol i adeiladu un o swyddogaethau cyfathrebu o'r newidynnau sy'n dod i mewn, sydd, ar ôl cael ei astudio gan calcwlws differol.

yn aml mae angen i ddod o hyd i'r perfformiad mwyaf gorau posibl yn y byd economaidd: cynhyrchiant mwyaf posibl, mae'r incwm uchaf, cost leiaf ac yn y blaen. Mae pob cydran o'r fath yn swyddogaeth o un neu fwy o ddadleuon. Er enghraifft, gall y cynhyrchiad yn cael ei ystyried fel swyddogaeth o lafur a chyfalaf. Yn y cyswllt hwn, dod o hyd i werth addas yn cael ei leihau i ddod o hyd uchafswm neu isafswm o swyddogaeth o un neu fwy o newidynnau.

problemau o'r fath yn creu dosbarth o broblemau extremal yn y maes economaidd, yr ydych angen calcwlws differol. Pan fydd angen y dangosydd economaidd i leihau neu wneud y gorau fel swyddogaeth o baramedrau eraill, bydd y gymhareb cynyddiad swyddogaeth pwynt uchaf y dadleuon yn tueddu i sero os yw cynyddiad y ddadl yn tueddu i sero. Fel arall, pan fydd y fath agwedd yn tueddu i werth positif neu negyddol penodol, nid yw'r pwynt a nodwyd yn addas, oherwydd drwy gynyddu neu leihau y ddadl y gellir ei newid gwerth dibynnol yn y cyfeiriad a ddymunir. Yn terminoleg calcwlws differol, byddai hyn yn golygu bod yr amodau angenrheidiol ar gyfer swyddogaeth mwyaf posibl yn werth sero o'i deilliadol.

Nid yw'r economi yn broblem anghyffredin o ddod o hyd y extremum swyddogaeth o nifer o newidynnau, gan fod dangosyddion economaidd yn cael eu gwneud o nifer o ffactorau. Mae materion o'r fath yn cael eu deall yn dda yn y theori o swyddogaethau'r sawl newidynnau, y dull o gyfrifo'r gwahaniaeth. Nid yw problemau o'r fath yn cynnwys dim ond y mwyaf a swyddogaeth lleihau, ond hefyd cyfyngiadau. Mae'r cwestiynau hyn yn ymwneud â rhaglennu mathemategol, ac maent yn cael eu datrys gyda chymorth dulliau a ddatblygwyd yn arbennig hefyd yn seiliedig ar y gangen hon o wyddoniaeth.

Ymhlith y dulliau o calcwlws differol a ddefnyddiwyd yn yr economi, adran bwysig yw'r prawf yn y pen draw. Yn y byd economaidd, mae'r term yn cyfeirio at set o ddulliau ymchwil o berfformiad amrywiol a chanlyniadau pan fyddwch yn newid y cyfaint y greadigaeth, yfed, yn seiliedig ar ddadansoddiad o'u gwerthoedd terfyn. Cyfyngu arwydd ystyriwyd deilliadol neu deilliadau rhannol gyda nifer o newidynnau.

calcwlws gwahaniaethol o nifer o newidynnau - yn bwnc pwysig dadansoddi mathemategol. Am astudiaeth fanwl, gallwch ddefnyddio amrywiaeth o gymhorthion addysgu ar gyfer sefydliadau addysg uwch. Un o'r Fikhtengol'ts grëwyd mwyaf enwog - "y gwahaniaeth a chalcwlws annatod." Faint o'r enw ar gyfer y datrysiad o hafaliadau differol o gryn bwysigrwydd i feddu ar y sgiliau i weithio gyda integrynnau. Pan fydd calcwlws differol swyddogaethau o un newidyn, mae'r penderfyniad yn dod yn haws. Er, dylid nodi, mae'n dilyn yr un rheolau sylfaenol. Yn ymarferol, i ymchwilio i swyddogaeth y calcwlws differol, dilynwch y algorithm sy'n bodoli eisoes, a roddir yn yr ysgol yn uchel, a dim ond ychydig yn gymhleth gyda chyflwyno newidynnau newydd.