Llinol a hafaliad differol homogenaidd y gorchymyn cyntaf. enghreifftiau o atebion

Rwy'n meddwl y dylen ni ddechrau gyda hanes y teclyn fathemategol gogoneddus fel hafaliadau differol. Fel yr holl gwahaniaethol a chalcwlws annatod, hafaliadau hyn yn cael eu dyfeisio gan Newton ar ddiwedd y 17eg ganrif. Roedd yn credu mai ei darganfod mor bwysig fel bod hyd yn oed y neges amgryptio, sydd heddiw gellir ei gyfieithu fel a ganlyn: ". Mae pob un o'r deddfau natur a ddisgrifiwyd gan hafaliadau differol" Gall ymddangos yn gor-ddweud, ond mae'n wir. Unrhyw gyfraith ffiseg, cemeg, bioleg, gellir ei ddisgrifio gan hafaliadau hyn.

Cyfraniad enfawr i ddatblygiad a chreu theori hafaliadau differol cael mathemateg o Euler a Lagrange. Eisoes yn y 18fed ganrif maent yn darganfod a datblygu hyn sydd bellach yn astudio yn yr uwch gyrsiau prifysgol.

Carreg filltir newydd yn yr astudiaeth o hafaliadau differol dechreuodd diolch i Anri Puankare. Creodd yn "theori ansoddol hafaliadau differol", sydd, ynghyd â theori swyddogaethau o newidynnau cymhleth cyfrannu'n sylweddol at sylfaen topoleg - y wyddoniaeth o ofod a ei eiddo.

Beth yw hafaliadau differol?

Mae llawer o bobl yn ofni yr ymadrodd "hafaliad differol". Fodd bynnag, yn yr erthygl hon byddwn yn gosod allan yn fanwl hanfod yr offeryn mathemategol yn ddefnyddiol iawn nad sydd mewn gwirionedd mor gymhleth ag y mae'n ymddangos o'r teitl. Er mwyn dechrau siarad am hafaliad differol trefn un, rhaid i chi yn gyntaf gael gyfarwydd â'r cysyniadau sylfaenol sy'n gysylltiedig hanfod â'r diffiniad hwn. A byddwn yn dechrau gyda'r gwahaniaeth.

gwahaniaethol

Mae llawer o bobl yn gwybod y tymor hwn ers yr ysgol yn uchel. Fodd bynnag, yn dal i fynd ar ôl ei gyfer yn fanwl. Dychmygwch y graff y swyddogaeth. Gallwn gynyddu ei i'r fath raddau fel bod unrhyw un o'i segment yn dod yn llinell syth. Bydd yn cymryd ddau bwynt sydd yn ganmil agos at ei gilydd. Y gwahaniaeth rhwng eu cyfesurynnau (x neu y) yn orfychan. Ac mae'n cael ei alw'n gwahaniaethol a chymeriadau ddynodi dy (gwahaniaethol y) a dx (y gwahaniaeth o x). Mae'n bwysig deall nad yw'r gwahaniaeth yn y gwerth yn y pen draw, ac mae hyn yn yr ystyr a'r prif swyddogaeth.

Ac yn awr mae'n rhaid i chi ystyried yr elfennau canlynol, a fydd yn rhaid i ni egluro'r cysyniad hafaliad differol. Mae'n - deilliadol.

deilliadol

Rhaid i bob un ohonom wedi clywed yn yr ysgol ac syniad hwn. Maent yn dweud bod y deilliad - yw'r gyfradd twf neu ostyngiad o'r swyddogaeth. Fodd bynnag, mae'r diffiniad hwn yn dod yn fwy dryslyd. Gadewch inni geisio egluro'r termau deilliadol y gwahaniaethau. Gadewch i ni fynd yn ôl at y swyddogaeth egwyl orfychan gyda dau bwynt, sydd wedi eu lleoli ar bellter lleiaf oddi wrth ei gilydd. Ond hyd yn oed y tu hwnt i swyddogaeth y pellter hwn yn amser i newid i ryw werth. Ac i ddisgrifio newid hwnnw ac yn dod i fyny gyda deilliadol a fyddai fel arall yn cael ei ysgrifennu fel cymhareb y gwahaniaethau: f (x) '= df / dx.

Nawr mae'n rhaid ystyried priodweddau sylfaenol y deilliadol. Mae dim ond tri yw:

1. Gall y swm sy'n deillio ohono neu y gwahaniaeth yn cael ei gynrychioli fel swm neu'r gwahaniaeth y deilliadau: (a + b) '= a' + b ', ac (ab)' = a'-b '.
2. Yr ail eiddo yn gysylltiedig â lluosi. gwaith deilliadol - yw swm y gwaith o un swyddogaeth i deilliadol arall: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Gall y deilliadol o'r gwahaniaeth yn cael ei ysgrifennu fel yr hafaliad canlynol: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Mae'r holl nodweddion hyn yn dod i mewn 'n hylaw i ddod o hyd i atebion i gwahaniaethol hafaliadau y gorchymyn cyntaf.

Hefyd, mae deilliadau rhannol. Tybiwch fod gennym swyddogaeth y z, sy'n dibynnu ar y newidynnau x ac y. I gyfrifo deilliad rhannol swyddogaeth hon, er enghraifft, mewn x, mae angen i ni gymryd y y amrywiol ar gyfer gyson ac yn hawdd i wahaniaethu.

annatod

cysyniad pwysig arall - integrol. Mewn gwirionedd, mae'n y gwrthwyneb i deilliadol. Integrynnau sawl math, ond mae'r atebion symlaf o hafaliadau differol, mae angen y mwyaf dibwys integrynnau amhenodol.

Felly, beth yw'r annatod? Lets 'ddeud gennym ryw berthynas f o x. Rydym yn cymryd oddi wrtho yr integryn a chael F ffwythiant (x) (y cyfeirir ato yn aml fel un cyntefig), sy'n deillio o'r swyddogaeth wreiddiol. Felly F (x) '= f (x). Mae hyn hefyd yn awgrymu bod y annatod o'r deilliad yn hafal i'r swyddogaeth wreiddiol.

Wrth ddatrys hafaliadau differol mae'n bwysig iawn i ddeall ystyr a swyddogaeth yr integryn, gan fod yn aml iawn i fynd â nhw i ddod o hyd i atebion.

Mae'r hafaliadau yn wahanol yn dibynnu ar eu natur. Yn yr adran nesaf, byddwn yn edrych ar fathau o hafaliadau differol trefn gyntaf, ac yna yn dysgu sut i'w datrys.

Dosbarthiadau o hafaliadau differol

"Diffury" rhannu gan y drefn o deilliadau sy'n gysylltiedig â hwy. Felly mae yna yn gyntaf, ail, trydydd neu fwy archeb. Gellir hefyd eu rhannu yn nifer o ddosbarthiadau: cyffredin a rhannol.

Yn yr erthygl hon, byddwn yn ystyried y hafaliadau differol cyffredin y gorchymyn cyntaf. Enghreifftiau ac atebion rydym yn trafod yn yr adrannau canlynol. Rydym yn ystyried dim ond y TAC oherwydd ei fod yn y mathau mwyaf cyffredin o hafaliadau. rhannu'n cyffredin i mewn isrywogaeth: gyda newidynnau gwahanadwy, homogenaidd a heterogenaidd. Nesaf byddwch yn dysgu sut y maent yn wahanol i'w gilydd, ac yn dysgu sut i'w datrys.

Yn ogystal, gall yr hafaliadau hyn yn cael eu cyfuno, er mwyn bod ar ôl i ni gael system o hafaliadau differol y gorchymyn cyntaf. systemau o'r fath, rydym hefyd yn edrych ar ac yn dysgu sut i ddatrys.

Pam rydym yn ystyried dim ond y gorchymyn cyntaf? Oherwydd ei fod yn angenrheidiol i ddechrau gyda syml a disgrifiwch gyd yn gysylltiedig â hafaliadau differol, mewn erthygl sengl ei bod yn amhosibl.

Hafaliadau gyda newidynnau gwahanadwy

Efallai mai dyma'r hafaliadau differol trefn cyntaf mwyaf syml. Mae'r rhain yn enghreifftiau y gellir eu hysgrifennu fel: y '= f (x) * f (y). Er mwyn datrys hafaliad hwn, mae angen fformiwla cynrychiolaeth y deilliadol fel cymhareb y gwahaniaethau: y '= dy / dx. Ag ef yr ydym yn cael yr hafaliad: / dx = f dy (x) * f (y). Nawr gallwn droi at y dull o ddatrys enghreifftiau safonol: gwahanu'r newidynnau mewn rhannau, hy yn gyflym ymlaen yr holl y newidyn yn y rhan lle mae dy, a hefyd yn gwneud y newidyn x ... Rydym yn cael hafaliad o'r ffurflen: dy / f (y) = f (x) dx, sy'n cael ei gyflawni drwy gymryd y integrynnau y ddwy ran. Peidiwch ag anghofio am y gyson eich bod am roi ar ôl integreiddio.

Yr ateb unrhyw "diffura" - yn swyddogaeth o x yn ôl y (yn ein hachos ni), neu os oes cyflwr rhifiadol, mae'r ateb yn rhif. Gadewch i ni edrych yn enghraifft concrid y cwrs cyfan y penderfyniad:

y '= 2y * sin (x)

Trosglwyddwch y newidynnau mewn cyfeiriadau gwahanol:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Nawr cymryd y integrynnau. Gall pob un ohonynt i'w gweld mewn tabl arbennig o integrynnau. Ac rydym yn cael:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Os bydd angen, gallwn fynegi y "y" fel swyddogaeth o "X". Nawr gallwn ddweud bod ein hafaliad differol ei datrys, os nad yw wedi'i nodi cyflwr. Gellir darparu hyn cyflwr, er enghraifft, y (n / 2) = e. Yna, byddwn yn syml rhodder y gwerth y newidynnau hyn yn y penderfyniad a darganfyddwch werth y cysonyn. Yn ein enghraifft, mae'n 1.

hafaliadau differol trefn un homogenaidd

Nawr ar y rhannau mwy cymhleth. Gall hafaliadau differol trefn gyntaf homogenaidd cael ei ysgrifennu mewn ffurf gyffredinol fel: y '= z (x, y). Dylid nodi bod y swyddogaeth dde dau newidyn yn unffurf, ac ni ellir ei rannu yn ddau, yn dibynnu ar y canlynol: z x a z o y. Gwiriwch a yw'r hafaliad yn homogenaidd neu beidio, yn eithaf syml: rydym yn gwneud yr amnewid x = k * x a * y y = k. Nawr rydym yn torri pob k. Os llythyrau hyn yn cael eu gollwng, yna yr hafaliad homogenaidd ac yn gallu symud ymlaen yn ddiogel i'w ateb. Gan edrych i'r dyfodol, rydym yn dweud: yr egwyddor o'r ateb o'r enghreifftiau hyn hefyd yn syml iawn.

Mae angen i ni wneud yr amnewid: = y t (x) * x, lle mae t - swyddogaeth sydd hefyd yn dibynnu ar x. Yna gallwn fynegi y deilliadol: y '= t' (x) * x + t. Amnewid hyn i gyd i mewn i'n hafaliad gwreiddiol a symleiddio ei, mae gennym yr enghraifft o gwahanu newidynnau t fel x. Datrys a chael dibyniaeth t (x). Pan fyddwn yn got it, ni raid ond rhoi ein amnewid blaenorol y = t (x) * x. Yna rydym yn cael y dibyniaeth y ar x.

I'w gwneud yn gliriach, byddwn yn deall enghraifft: x * y '= yx * e y / x.

Wrth gwirio ailosod y cyfan dirywio. Felly, mae'r hafaliad yn wirioneddol homogenaidd. Nawr gwneud amnewidiad arall, buom yn siarad am: y = t (x) * x ac y '= t' (x) * x + t (x). Ar ôl symleiddio yr hafaliad canlynol: t '(x) * x = -e t. Rydym yn penderfynu i gael sampl gyda newidynnau gwahanu ac rydym yn ^{cael: e -t = ln (C *} x). jyst angen i ni gymryd lle t gan y / x (oherwydd os y = t * x, yna t = y / x), ac rydym yn cael yr ^{ateb: e-y / x = ln (} x * C).

hafaliad differol llinol y gorchymyn cyntaf

Mae'n amser i ystyried pwnc bras arall. Byddwn yn edrych hafaliadau differol trefn un heterogenaidd. Sut maent yn wahanol i'r ddau blaenorol? Gadewch i ni ei wyneb. Gall llinol hafaliadau differol trefn cyntaf yn y ffurf cyffredinol yr hafaliad yn cael ei ysgrifennu fel hyn: y '+ g (x) y * = z (x). Dylid egluro y gall z (x) a g (x) yn werthoedd gyson.

Dyma enghraifft: y '- y * x = x ^2.

Mae dwy ffordd i ddatrys, ac yr ydym yn archebu Gadewch i ni edrych ar y ddau ohonynt. Y cyntaf - y dull o amrywiad o cysonion mympwyol.

Er mwyn datrys yr hafaliad yn y modd hwn, mae angen i gyfateb y ochr dde cyntaf i sero, a datrys yr hafaliad sy'n deillio sydd ar ôl trosglwyddo rhannau yn dod yn:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = ^x2 e ^{/ 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Nawr mae angen i gymryd lle'r cyson C ₁ ar y v swyddogaeth (x), y byddwn yn dod o hyd.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tynnwch deilliadol newydd:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Ac amnewid ymadroddion hyn i mewn i'r hafaliad gwreiddiol:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Gallwch weld bod yn yr ochr chwith y ddau derm yn cael eu lleihau. Os yw rhai enghraifft nad oedd yn digwydd, yna rydych wedi gwneud rhywbeth o'i le. Rydym yn parhau i:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Nawr rydym yn datrys yr hafaliad arferol lle rydych am i wahanu'r newidynnau:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

I gael gwared ar yr integryn, mae'n rhaid i ni gymhwyso'r integru fesul rhan yma. Fodd bynnag, nid yw hyn yn y pwnc yr erthygl hon. Os oes gennych ddiddordeb, gallwch ddysgu ar eu pen eu hunain i gyflawni camau gweithredu o'r fath. Nid yw'n anodd, a chyda digon o sgil a gofal nad yw'n cymryd llawer o amser.

Gan gyfeirio at yr ail ddull datrys yr hafaliadau inhomogeneous: dull Bernoulli. Pa ddull yn gyflymach ac yn haws - mae i fyny i chi.

Felly, wrth ddatrys y dull hwn, mae angen i ni wneud yr amnewid: y = k * n. Yma, k a n - rhai swyddogaethau yn dibynnu ar x. Yna bydd y deilliad yn edrych fel: y '= k' * n + k * n '. dau dirprwyon eilydd yn yr hafaliad:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grwp i fyny:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Nawr mae angen i gyfateb i sero, hynny yw mewn cromfachau. Yn awr, os ydych yn cyfuno'r ddau hafaliadau sy'n deillio, rydym yn cael system o hafaliadau differol gorchymyn cyntaf i'w datrys:

n '+ x * n = 0;

* K 'n = x ^2.

Y cydraddoldeb cyntaf penderfynu sut mae'r hafaliad arferol. I wneud hyn, bydd angen i chi wahanu'r newidynnau:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Rydym yn cymryd yr integryn ac rydym yn cael: ln (n) = x ^2/2. Yna, os ydym yn mynegi n:

n = e ^{x2 / 2.}

Nawr rhodder y hafaliad sy'n deillio i'r ail hafaliad:

* E ^x2 k ^{'/ 2} = x ^2.

A gweddnewid, rydym yn cael yr un hafaliad ag yn y dull cyntaf:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Rydym hefyd yn ni fydd yn trafod camau pellach. Dywedir bod o hafaliadau differol trefn un cyntaf ateb yn achosi anawsterau sylweddol. Fodd bynnag, mae trochi ddyfnach yn y pwnc yn dechrau i gael well ac yn well.

Ble mae'r hafaliadau differol?

hafaliadau differol weithgar iawn a ddefnyddir mewn ffiseg, gan fod bron pob un o'r deddfau sylfaenol yn cael eu hysgrifennu ar ffurf gwahaniaethol, a fformiwlâu hynny, ein bod yn gweld - ateb i'r hafaliadau hyn. Mewn cemeg, maent yn cael eu defnyddio ar gyfer yr un rheswm: y deddfau sylfaenol yn deillio drwyddynt. Mewn bioleg, mae'r hafaliadau differol yn cael eu defnyddio i fodelu ymddygiad systemau, megis ysglyfaethwr - ysglyfaeth. Gellir eu defnyddio hefyd i greu modelau o atgynhyrchu, er enghraifft, nythfeydd o ficro-organebau.

Wrth i hafaliadau differol helpu mewn bywyd?

Yr ateb i'r cwestiwn hwn yn syml: dim. Os nad ydych yn wyddonydd neu beiriannydd, mae'n annhebygol y byddant yn ddefnyddiol. Fodd bynnag, nid yw brifo i wybod beth mae'r hafaliad differol ac mae'n cael ei datrys ar gyfer y datblygiad cyffredinol. Ac yna y cwestiwn o mab neu ferch, "beth hafaliad differol?" peidiwch â eich rhoi mewn diwedd marw. Wel, os ydych yn wyddonydd neu beiriannydd, yna rydych yn gwybod pa mor bwysig yw pwnc hwn mewn unrhyw gwyddoniaeth. Ond yn bwysicaf oll, bod yn awr at y cwestiwn "sut i ddatrys yr hafaliad differol y gorchymyn cyntaf?" byddwch bob amser yn gallu rhoi ateb. Cytuno, mae bob amser yn braf pan fyddwch yn sylweddoli bod yr hyn mae pobl yn hyd yn oed yn ofni i gael gwybod.

Y prif broblemau yn yr astudiaeth

Y brif broblem yn y ddealltwriaeth o'r pwnc hwn yn arfer gwael o swyddogaethau integreiddio a gwahaniaethu. Os ydych yn anghyfforddus YSGWYDDO deilliadau ac integrynnau, mae'n fwy na thebyg werth mwy i ddysgu, i ddysgu gwahanol ddulliau o integreiddio a gwahaniaethu, a dim ond wedyn yn mynd ymlaen i astudio'r deunydd sydd wedi cael ei ddisgrifio yn yr erthygl.

Mae rhai pobl yn cael eu synnu i ddysgu y gall dx gael ei drosglwyddo, fel o'r blaen (yn yr ysgol) yn dadlau bod y dy ffracsiwn / dx yn anwahanadwy. Yna, bydd angen i chi ddarllen y llenyddiaeth ar deilliadol a deall ei bod yn agwedd symiau ganmil bach, y gellir eu trin wrth ddatrys hafaliadau.

Nid yw llawer o bobl yn sylweddoli ar unwaith bod yr ateb o hafaliadau differol y gorchymyn cyntaf - mae hyn yn aml yn swyddogaeth neu neberuschiysya annatod, ac mae hyn yn rhoi dwyll lawer o drafferth iddynt.

Beth arall y gellir ei hastudio i ddeall yn well?

Mae'n well dechrau trochi pellach i fyd gwahaniaethol calcwlws o werslyfrau arbenigol, er enghraifft, mewn dadansoddiad mathemategol ar gyfer myfyrwyr o arbenigeddau heblaw mathemategol. Yna gallwch symud i'r llenyddiaeth mwy arbenigol.

Yn ôl y sôn, yn ychwanegol at y gwahaniaeth, mae yn dal hafaliadau annatod, felly byddwch bob amser yn cael rhywbeth i ymdrechu am a beth i'w astudio.

casgliad

Rydym yn gobeithio y ar ôl darllen yr erthygl hon, bydd gennych syniad o'r hyn y mae'r hafaliadau differol a sut i'w datrys yn gywir.

Mewn unrhyw achos, mathemateg mewn unrhyw ffordd ddefnyddiol i ni mewn bywyd. Mae'n datblygu rhesymeg a sylw, heb y pob dyn, fel heb dwylo.