Mae system o hafaliadau algebraidd llinol. system homogenaidd o hafaliadau algebraidd llinol

Yn yr ysgol, mae pob un ohonom yn astudio yr hafaliad ac, yn sicr, y system o hafaliadau. Ond nid yw llawer o bobl yn gwybod bod yna nifer o ffyrdd i'w datrys. Heddiw, byddwn yn gweld yn union yr holl ddulliau ar gyfer datrys system o hafaliadau algebraidd llinol, sy'n cael eu cynnwys mwy na dau hafaliad.

stori

Heddiw, rydym yn gwybod bod y grefft o ddatrys hafaliadau a'u systemau tarddu yn Babilon hynafol a'r Aifft. Fodd bynnag, yn ymddangos cydraddoldeb yn eu ffurf gyfarwydd i ni ar ôl y digwyddiad o 'r hafalnod "=", a gyflwynwyd yn 1556 gan gofnodi mathemategydd Saesneg. Gyda llaw, dewiswyd y symbol hwn am reswm: mae'n golygu dau segmentau cyfartal gyfochrog. Yn wir, nid yr enghraifft orau o gydraddoldeb yn dod i fyny.

Mae sylfaenydd llythrennau modern a symbolau o faint anhysbys, y mathemategydd Ffrengig Fransua Viet. Fodd bynnag, mae ei ddynodiad yn sylweddol wahanol i heddiw. Er enghraifft, mae sgwâr o nifer anhysbys ef a ddynodwyd gan y Q llythyr (lat "quadratus".), Ac mae'r ciwb - (. Lat "cubus") y llythyren C. Mae'r symbolau yn awr yn ymddangos yn anghyfforddus, ond yna roedd y ffordd fwyaf sythweledol i ysgrifennu system o hafaliadau algebraidd llinol.

Fodd bynnag, mae anfantais yn y dulliau cyffredinol o hydoddiant oedd bod fathemategwyr wedi ystyried dim ond y gwreiddiau cadarnhaol. Efallai fod hyn o ganlyniad i'r ffaith nad yw gwerthoedd negatif yn cael unrhyw ddefnydd ymarferol. Un ffordd neu'r llall, ond y cyntaf i gael ei ystyried Dechreuodd gwreiddiau negyddol ar ôl y fathemateg Eidalaidd Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano a Raphael Bombelli yn y 16eg ganrif. Golwg modern, y prif ddull o ddatrys hafaliadau cwadratig (drwy Gwahanolyn) ei sefydlu yn unig yn yr 17eg ganrif trwy weithiau Descartes a Newton.

Yng nghanol y mathemategydd o'r Swistir 18fed ganrif a ddarganfuwyd Gabriel Cramer yn ffordd newydd i wneud y datrysiad o systemau o hafaliadau llinol yn haws. enwyd Mae'r dull hwn yn ddiweddarach ar ei ôl ef, a hyd heddiw rydym yn ei ddefnyddio. Ond ar y dull o siarad Kramer yn ychydig yn ddiweddarach, ond am y tro byddwn yn trafod hafaliadau llinol ac mae eu datrysiadau ar wahân i'r system.

hafaliadau llinol

hafaliadau llinol - yr hafaliad symlaf gydag amrywiol (au). Maent yn perthyn i'r algebraidd. hafaliadau llinol ysgrifenedig ar ffurf gyffredinol fel a ganlyn: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ac _n * x _n = b. Bydd cyflwyno'r ffurflen hon, mae angen i ni wrth baratoi systemau a matricsau ar.

Mae system o hafaliadau algebraidd llinol

Mae'r diffiniad o'r term hwn yw: set o hafaliadau sydd â ffactorau anhysbys cyffredin a'r datrysiad cyffredinol. Yn nodweddiadol, yn yr ysgol bob datrys system gyda dau neu hyd yn oed dri hafaliadau. Ond mae yna systemau gyda phedwar neu fwy o gydrannau. Gadewch i ni weld yn gyntaf sut i ysgrifennu i lawr fel bod yn nes ymlaen roedd yn gyfleus i ddatrys. Yn gyntaf, bydd y system o hafaliadau algebraidd llinol yn edrych yn well os bydd yr holl newidynnau yn cael eu hysgrifennu fel x gyda'r mynegai cyfatebol: 1,2,3 ac yn y blaen. Yn ail, dylai arwain yr holl hafaliadau i'r ffurflen canonaidd: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ac _n * x _n = b.

Ar ôl yr holl gamau hyn, gallwn ddechrau dweud wrthych sut i ddod o hyd i'r ateb o systemau o hafaliadau llinol. Bydd llawer iawn am hynny yn dod i mewn 'n hylaw matrics.

matrics

Matrix - tabl sy'n cynnwys rhesi a cholofnau, a'i elfennau ar eu groesffordd. Gall hyn fod naill ai yn werth neu newidyn penodol. Yn y rhan fwyaf o achosion, i ddynodi elfennau sy'n cael eu trefnu o dan y subscripts (e.e. o ₁₁ neu ₂₃ yn dda). Mae'r mynegai yn gyntaf yn dangos nifer rhes, a'r ail - y golofn. Gall matricsau uchod fel uchod ac unrhyw elfen mathemategol eraill yn perfformio gwahanol weithrediadau. Felly, gallwch:

1) Tynnwch ac ychwanegwch yr un faint y tabl.

2) Lluoswch y matrics i unrhyw rif neu fector.

3) Trawsnodi: trawsnewid llinellau matrics yn y colofnau, a'r colofnau - yn unol.

4) Lluoswch y matrics, os yw nifer o resi yn hafal i un ohonynt nifer wahanol o golofnau.

I drafod yn fanwl yr holl technegau hyn, gan eu bod yn ddefnyddiol i ni yn y dyfodol. Tynnu ac ychwanegu matricsau yn syml iawn. Ers i ni gymryd yr un matrics maint, pob elfen o un tabl yn gysylltiedig â phob elfen arall. Felly rydym yn ychwanegu (tynnu) dwy o'r elfennau hyn (ei bod yn bwysig eu bod yn sefyll ar yr un tir yn eu matricsau). Pan fydd wedi'i luosi â nifer y matrics neu fector rydych yn syml yn lluosi pob elfen o'r matrics gan y rhif hwnnw (neu'r fector). Trosi - proses diddorol iawn. Diddorol iawn weithiau i'w weld mewn bywyd go iawn, er enghraifft, wrth newid gorweddiad tabled neu ffôn. Mae'r eiconau ar y penbwrdd yn matrics, a gyda newid o sefyllfa, mae'n cael ei throsi ac yn dod yn ehangach, ond yn gostwng o uchder.

Gadewch i ni edrych yn fwy drwy broses megis lluosi matrics. Er ei fod yn dweud wrthym, ac nid yw'n ddefnyddiol, ond byddwch yn ymwybodol ei fod yn dal i fod yn ddefnyddiol. Lluoswch gall dau matricsau fod dim ond o dan yr amod bod y nifer o golofnau mewn un tabl yn hafal i nifer o resi eraill. Nawr yn cymryd elfennau un llinell matrics ac elfennau eraill o'r golofn berthnasol. eu lluosi â'i swm arall ac yna (hy, er enghraifft, cynnyrch o elfennau ₁₁ a ₁₂ ac yn ₁₂ b a ₂₂ b yn gyfartal i: a * b _{11 12} + ₁₂ * b a _22). Felly, yn eitem bwrdd unigol, a dull tebyg iddo yn cael ei lenwi bellach.

Nawr gallwn ddechrau ystyried sut i ddatrys systemau o hafaliadau llinol.

Gauss

Dechreuodd y thema hon ddigwydd yn yr ysgol. Rydym yn gwybod yn dda iawn y cysyniad o "system o hafaliadau llinol dau" ac yn gwybod sut i'w datrys. Ond beth os bydd y nifer o hafaliadau yn fwy na dau? Bydd hyn yn ein helpu dull Gauss.

Wrth gwrs, y dull hwn yn gyfleus i'w defnyddio, os byddwch yn gwneud matrics o'r system. Ond ni allwch ei drosi a phenderfynu ar ei ben ei hun.

Felly, sut i'w datrys gan system o hafaliadau llinol Gauss? Gyda llaw, er bod y dull hwn ac enwi ar ei ôl, ond darganfu ei fod yn yr hen amser. Mae gan Gauss llawdriniaeth a gynhaliwyd gyda hafaliadau, yn y pen draw yn arwain at grynswth i ffurf echelon. Hynny yw, mae angen i brig i lawr (os gosod yn gywir) o'r cyntaf i'r hafaliad diwethaf i chi gwanhau un anhysbys. Mewn geiriau eraill, mae angen i ni wneud yn siŵr ein bod wedi cael, dyweder, tri hafaliadau: y cyntaf - tri anhysbys, yn yr ail - dau yn y trydydd - un. Yna, o'r hafaliad olaf, rydym yn dod o hyd i'r anhysbys cyntaf, rhodder ei werth yn yr ail neu'r hafaliad cyntaf, ac yn dod o hyd i'r ddau newidyn sy'n weddill ymhellach.

rheol Cramer yn

Ar gyfer datblygu dechneg hon yn hanfodol i feistroli sgiliau adio, tynnu o fatricsau, yn ogystal â'r angen i allu dod o hyd i benderfynyddion. Felly, os ydych yn anghyfforddus yn gwneud hyn i gyd neu ddim yn gwybod sut, mae angen i ddysgu a chael eu hyfforddi.

Beth yw hanfod y dull hwn, a sut i wneud hynny, er mwyn cael system o hafaliadau llinol Cramer? Mae'n syml iawn. Mae angen i ni adeiladu matrics o rifau (bron bob amser) cyfernodau o system o hafaliadau algebraidd llinol. I wneud hyn, yn syml yn cymryd y nifer yr anhysbys, ac rydym yn trefnu tabl yn y drefn y maent yn cael eu cofnodi yn y system. Os cyn y rhif yn arwydd "-", yna byddwn yn ysgrifennu cyfernod negyddol. Felly, rydym yn gwneud y matrics cyntaf y cyfernodau y anhysbys, heb gynnwys y rhif wedi 'r hafalnod (wrth gwrs, fod i'r hafaliad gael ei ostwng i ffurf canonaidd pan fydd yr hawl yn unig yw rhif, ac y chwith - yr holl anhysbys gyda chyfernodau). Yna, bydd angen i chi wneud ychydig o matricsau - un ar gyfer pob newidyn. At y diben hwn, yn y matrics cyntaf yn cael ei ddisodli gan un golofn bob rhifau colofn gyda chyfernodau wedi 'r hafalnod. Felly rydym yn cael ychydig o matricsau ac yna dod o hyd i'w benderfynyddion.

Ar ôl i ni ganfod y rhagbrofol, mae'n fach. Mae gennym matrics cychwynnol, ac mae yna nifer o matricsau deillio, sy'n cyfateb i wahanol newidynnau. Er mwyn cael ateb system, rydym yn rhannu'r penderfynydd y tabl sy'n deillio ar y penderfynydd sylfaenol y tabl. Y rhif deillio o hyn yn werth un newidyn. Yn yr un modd, rydym yn dod o hyd i gyd y anhysbys.

dulliau eraill

Mae sawl dull er mwyn cael yr ateb o systemau o hafaliadau llinol. Er enghraifft, mae hyn a elwir yn ddull Gauss-Jordan, sy'n cael ei ddefnyddio i ddod o hyd i atebion y system o hafaliadau cwadratig, ac mae hefyd yn ymwneud â'r defnydd o matricsau. Mae yna hefyd ddull Jacobi gyfer datrys system o hafaliadau algebraidd llinol. Mae'n hawdd addasu i bob cyfrifiadur ac yn cael ei ddefnyddio mewn cyfrifiadurol.

achosion cymhleth

Cymhlethdod fel arfer yn digwydd os bydd y nifer o hafaliadau yn llai na nifer y newidynnau. Yna gallwn yn sicr ddweud bod, neu'r system yn anghyson (hy, nid oes gwreiddiau), neu nifer y ei benderfyniadau yn tueddu i anfeidredd. Os oes gennym yr ail achos - mae angen i ysgrifennu y datrysiad cyffredinol o'r system o hafaliadau llinol. Bydd yn cynnwys o leiaf un newidyn.

casgliad

Yma rydym yn dod i ben. I grynhoi: mae'n rhaid i ni ddeall yr hyn y matrics system, dysgodd i ddod o hyd i'r ateb cyffredinol o system o hafaliadau llinol. Yn ogystal, rydym yn ystyried opsiynau eraill. Rydym yn cyfrifedig gwybod sut i ddatrys systemau o hafaliadau llinol: dileu Gaussian a rheol Cramer yn. Rydym yn siarad am achosion anodd a ffyrdd eraill o ddod o hyd i atebion.

Mewn gwirionedd, mae'r mater hwn yn llawer mwy helaeth, ac os ydych am ddeall yn well, rydym yn eich cynghori i ddarllen mwy o'r llenyddiaeth arbenigol.