Gwreiddiau'r hafaliad cwadratig: ystyr algebraidd a geometrig

Mewn algebra, mae hafaliad sgwâr yn hafaliad ail-orchymyn. Yn ôl yr hafaliad ystyrir mynegiant mathemategol sydd ag un neu ragor o anhysbys yn ei gyfansoddiad. Mae hafaliad ail-drefn yn hafaliad mathemategol sydd ag o leiaf un sgwâr yn y radd anhysbys. Mae'r hafaliad cwadratig o'r ail orchymyn, a gostyngir yr hafaliad i ffurf hunaniaeth sy'n hafal i sero. Mae datrys yr hafaliad cwadratig yn golygu yr un peth â phenderfynu gwreiddiau'r hafaliad cwadratig. Hafaliad cwadratig nodweddiadol yn y ffurf gyffredinol:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

Lle mae W, T yn gyfeilliau gwreiddiau'r hafaliad cwadratig;

O yw'r cyfernod rhydd;

C yw gwraidd yr hafaliad cwadratig (mae gan ddau werthoedd c1 a c2 bob amser).

Fel y crybwyllwyd eisoes, y broblem o ddatrys yr hafaliad cwadratig yw darganfod gwreiddiau'r hafaliad cwadratig. Er mwyn dod o hyd iddynt, mae angen dod o hyd i'r gwahaniaethwr:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Mae angen gwahaniaethu i ddatrys y fformiwla ar gyfer dod o hyd i'r gwreiddyn c1 a c2:

C1 = (-T + √N) / 2 * W a c2 = (-T - √N) / 2 * W

Os mewn hafaliad cwadratig o ffurf gyffredinol mae'r cyfernod wrth wraidd T yn lluosog o werth, yna caiff y hafaliad ei ddisodli gan:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Ac mae ei wreiddiau yn ymddangos fel mynegiant:

C1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W a c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Yn aml, efallai bod gan yr hafaliad ffurf ychydig yn wahanol, pan na fydd gan c_2 gyfernod W. Yn yr achos hwn, mae'r ffurflen hafaliad yn cynnwys y ffurflen:

C ^ 2 + F * c + L = 0

Lle F yw'r cyfernod yn y gwreiddyn;

L yw'r cyfernod rhydd;

C yw gwraidd yr hafaliad cwadratig (mae gan ddau werthoedd c1 a c2 bob amser).

Gelwir y math hwn o hafaliad yn yr hafaliad is. Aeth yr enw "llai" o'r fformiwla gostyngiad o hafaliad cwadratig nodweddiadol, os yw'r cyfernod wrth wraidd W yn un. Yn yr achos hwn, mae gwreiddiau'r hafaliad cwadratig:

C1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] a c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Yn achos gwerth hyd yn oed y cyfernod wrth wraidd F, bydd gan y gwreiddiau ateb:

C1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

Os byddwn yn sôn am hafaliadau cwadratig, yna mae'n rhaid inni gofio'r Theorem Vieta. Mae'n dweud, ar gyfer yr hafaliad cwadratig is, bod y rheoleidd-dra a ganlyn yn bodoli:

C ^ 2 + F * c + L = 0

C1 + c2 = -F a c1 * c2 = L

Yn yr hafaliad cwadratig cyffredinol, mae gwreiddiau'r hafaliad cwadratig yn perthyn i'r dibyniaethau:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

C1 + c2 = -T / W a c1 * c2 = O / W

Nawr gadewch inni ystyried yr amrywiadau posibl o hafaliadau cwadratig a'u hatebion. Efallai bod dau ohonynt, gan nad oes unrhyw aelod c_2, yna ni fydd yr hafaliad bellach yn sgwâr. Felly:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Amrywiad o'r hafaliad cwadratig heb gyfernod rhydd (tymor).

Yr ateb yw:

W * c ^ 2 = -T * c

C1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 Yr amrywiad o'r hafaliad cwadratig heb yr ail dymor, pan fydd gwreiddiau'r hafaliad cwadratig yn gyfartal mewn gwerth absoliwt.

Yr ateb yw:

W * c ^ 2 = -O

C1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Hwn i gyd oedd algebra. Ystyriwch yr ystyr geometrig sydd gan yr hafaliad cwadratig. Mae'r hafaliad ail-drefn mewn geometreg yn disgrifio'r swyddogaeth parabolaidd. I fyfyrwyr ysgol uwchradd, y broblem yn aml yw sut i ddod o hyd i wreiddiau'r hafaliad cwadratig? Mae gwreiddiau'r hafaliad hyn yn rhoi syniad o sut mae graff y swyddogaeth (parabola) yn croesi ag echel cydlynu - abscissas. Os, datrys yr hafaliad cwadratig, byddwn yn cael datrysiad afresymol o'r gwreiddiau, yna ni fydd unrhyw groesffordd. Os oes gan y gwraidd un gwerth corfforol, yna mae'r swyddogaeth yn croesi'r echel abscissa mewn un lle. Os yw dwy wreiddyn, yna, yn y drefn honno - dau bwynt o groesffordd.

Dylid nodi bod gwraidd afresymol yn golygu gwerth negyddol o dan y gwreiddyn, wrth ddod o hyd i wreiddiau. Yr ystyr corfforol yw unrhyw werth cadarnhaol neu negyddol. Os canfyddir mai dim ond un gwreiddyn, tybir bod y gwreiddiau yr un fath. Gellir pennu cyfeiriadedd y gromlin ar y system gydlynu Cartesaidd hefyd gan gyflyrau gwreiddiau W a T. Os oes gan W werth cadarnhaol, yna mae gan ddwy gangen y parabola gyfeiriad i fyny. Os oes gan W werth negyddol, yna - i lawr. Hefyd, os oes gan yr cyfernod B arwydd cadarnhaol, tra bod W hefyd yn gadarnhaol, yna mae fertig y swyddogaeth parabola yn gorwedd o fewn "y" o "-" infinity i "+" infinity, "c" o minws anfeidrol i sero. Os yw T yn werth cadarnhaol, ac mae W yn werth negyddol, yna ar ochr arall yr echel abscissa.