Dilyniant geometrig. ENGHRAIFFT i benderfyniad

Ystyriwch olynol.

7 28 112 448 1792 ...

yn dangos yn eithaf clir bod gwerth unrhyw un o'i elfennau yn fwy na'r union bedair gwaith blaenorol. Felly, y gyfres hon yn ddilyniant.

dilyniant geometrig Gelwir dilyniant anfeidrol o rifau, y prif nodwedd o'r rhain yw bod y nifer ganlynol yn cael ei sicrhau o'r uchod trwy luosi gan rai rhif pendant. Mynegir hyn gan y fformiwla canlynol.

_{mae z +1 = a z · q} , lle mae z - nifer o'r elfen dethol.

Yn unol â hynny, z ∈ N.

Mae amser pan fydd yr ysgol yn cael ei hastudio geometrig dilyniant - radd 9fed. Enghreifftiau yn helpu i ddeall y cysyniad:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 Chwefror 6 ...

Yn seiliedig ar y fformiwla hon, efallai y bydd y datblygiad y enwadur i'w cael fel a ganlyn:

Ni all Nid _z q, neu b yn sero. Hefyd, mae pob un o'r elfennau o gyfres o rifau ni ddylai cynnydd fod yn sero.

Yn unol â hynny, i weld y rhif nesaf o nifer, lluoswch yr olaf gan q.

I ddiffinio y dilyniant hwn, rhaid i chi nodi'r elfen gyntaf ac enwadur. Ar ôl bod yn bosibl dod o hyd i unrhyw un o'r aelodau canlynol a'u maint.

rhywogaethau

Yn dibynnu ar y q a _1, y dilyniant hwn wedi'i rhannu'n sawl math:

• Os yw _1, a q yn fwy nag un, yna ddilyniant - cynyddu gyda phob elfen olynol o ddilyniant geometrig. Mae enghreifftiau o hynny isod.

Enghraifft: a ₁ = 3, q = 2 - mwy nag undod, y ddau paramedrau.

Yna gall dilyniant o rifau yn cael ei ysgrifennu fel:

3 6 12 24 48 ...

• Os | q | llai nag un, hy, mae'n cyfateb i luosi gan is-adran, mae'r dilyniant gyda chyflyrau tebyg - gostwng dilyniant geometrig. Mae enghreifftiau o hynny isod.

Enghraifft: a ₁ = 6, q = 1/3 - mae ₁ yn fwy nag un, q - llai.

Yna gall dilyniant o rifau yn cael eu hysgrifennu fel a ganlyn:

6 2 2/3 ... - unrhyw elfen fwy o elfennau canlynol, yw 3 gwaith.

• Yn ail. Os q <0, arwyddion rhifau'r yn ail dilyniant yn gyson waeth beth o _1, ac mae'r elfennau o unrhyw gynnydd neu ostyngiad.

Enghraifft: a ₁ = -3, q = -2 - ill dau yn llai na sero.

Yna gall dilyniant o rifau yn cael ei ysgrifennu fel:

3, 6, -12, 24, ...

fformiwla

At ddefnydd cyfleus, mae yna lawer o dilyniannau geometrig o'r fformiwlâu:

• Fformiwla z-fed term. Mae'n caniatáu cyfrifo'r elfen mewn nifer penodol heb gyfrifo'r niferoedd blaenorol.

Enghraifft: q = 3, a = ₁ 4. hangen i gyfrifo pedwerydd dilyniant elfen.

Ateb: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Swm yr elfennau cyntaf, y mae eu rhif yn hafal i z. Mae'n caniatáu cyfrifo swm yr holl elfennau mewn dilyniant i gynhwysol _z.

≠ 0, felly, nid yw q 1 - (q 1) Ers (1- q) yn yr enwadur, ac yna.

Noder: os q = 1, yna bydd y dilyniant byddai wedi cynrychioli nifer o ddiddiwedd ailadrodd y rhif.

Swm gynt a chynt enghreifftiau: a ₁ = 2, q = -2. Cyfrifwch S _5.

Ateb: S = ₅ 22 - fformiwla cyfrifo.

• Swm os | q | <1 a phryd z yn tueddu i anfeidredd.

Enghraifft: a ₁ = _2, q = 0.5. Dewch o hyd i'r swm.

Ateb: S _z = 2 x = 4

Os byddwn yn cyfrifo swm o sawl aelod o'r llawlyfr, fe welwch ei fod yn wir wedi ymrwymo i bedwar.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

Rhai eiddo:

• Mae eiddo nodweddiadol. Os yw'r cyflwr yn dilyn Mae'n dal i unrhyw z, yna rhoddir cyfres rhifiadol - dilyniant geometrig:

a _z ² = Mae _{z -1} · A _{z + 1}

• Mae hefyd yn y sgwâr o unrhyw rif yn gynt a chynt drwy ychwanegu y sgwariau y ddau rif arall mewn unrhyw res a roddir, os ydynt yn un pellter o'r elfen.

² a _z = a _{z - t} ² ₊ yn _z + _t ² lle mae t - y pellter rhwng y rhifau hyn.

• Yr elfennau yn wahanol gan q amser.
• Mae logarithmau o elfennau o ddilyniant yn ogystal yn ffurfio dilyniant, ond mae'r rhifyddeg, hynny yw, pob un ohonynt yn fwy na'r un blaenorol gan nifer penodol.

Dyma enghreifftiau o rhai problemau clasurol

Er mwyn deall yn well yr hyn y gall dilyniant geometrig, gyda'r enghreifftiau penderfyniadau ar gyfer gradd 9 helpu.

• Telerau ac amodau: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Darganfyddwch q.

Ateb: pob elfen yn olynol yn fwy na'r q blaenorol amser. Mae'n angenrheidiol i fynegi rhai elfennau drwy eraill drwy enwadur.

O ganlyniad, mae ₃ = q ² · ₁

Wrth amnewid q = 4

• Amodau: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Cyfrifwch S _6.

Ateb: Er mwyn gwneud hyn, mae'n suffices i ddod o hyd q, yr elfen gyntaf ac eilydd i mewn i'r fformiwla.

₃ = q · _2, o ganlyniad, q = 2

₂ = q · A _1, felly a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Dewch o hyd i'r bedwaredd elfen o ddilyniant.

Ateb: mae'n ddigon i fynegi bedwaredd elfen drwy'r cyntaf a thrwy'r enwadur.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Enghraifft Cais:

• Banc cleient wedi cyfrannu swm o 10,000 rubles, o dan y mae pob blwyddyn bydd y cleient i'r prif swm yn cael ei ychwanegu 6% ohono er. Faint o arian sydd yn y cyfrif ar ôl 4 blynedd?

Ateb: Y swm cychwynnol hafal i 10 rubles. Felly, bydd y flwyddyn ar ôl y buddsoddiadau yn y cyfrif fod y swm sy'n hafal i 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

Yn unol â hynny, y swm yn y cyfrif, hyd yn oed ar ôl un flwyddyn yn cael ei fynegi fel a ganlyn:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Hynny yw, mae pob blwyddyn y swm cynyddu i 1.06 o weithiau. Felly, i ddod o hyd i'r rhif y cyfrif ar ôl 4 blynedd, mae'n suffices i ddod o hyd pedwerydd dilyniant elfen, sy'n cael ei rhoi elfen gyntaf hafal i 10 mil, a'r enwadur cyfartal i 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Mae enghreifftiau o broblemau yn y cyfrifiant y swm o:

Yn wahanol problemau gan ddefnyddio dilyniant geometrig. Gall Enghraifft o ddod o hyd i'r swm gael ei osod fel a ganlyn:

₁ = 4, q = 2, cyfrifwch S _5.

Ateb: yr holl ddata angenrheidiol ar gyfer y cyfrifiad yn hysbys, yn syml yn eu amnewid i mewn i'r fformiwla.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Cyfrifwch swm y chwe elfen gyntaf.

ateb:

Mae'r Geom. cynnydd pob elfen o'r mwyaf nesaf na'r q amserau blaenorol, hynny yw, i gyfrifo'r swm y mae angen i chi wybod yr elfen o ₁ a'r enwadur q.

₂ · q = a ₃

q = 3

Yn yr un modd, yr angen i ddod o hyd i _{1, 2} a gwybod q.

phosibilrwydd o ₁ · q = a ₂

₁ = 2

Ac yna mae'n suffices i gyfnewid y data hysbys i mewn i'r swm fformiwla.

S ₆ = 728.