Maclaurin a dadelfeniad o rai swyddogaethau

Dylid astudio mathemateg uwch fod yn ymwybodol bod y swm o gyfres pŵer yn y cyfnod o gydgyfeirio o nifer ohonom, yn rhif barhaus ac anghyfyngedig o weithiau swyddogaeth gwahaniaethol. Mae'r cwestiwn yn codi: a yw'n bosibl dadlau, o ystyried swyddogaeth mympwyol f (x) - yw'r swm o gyfres pŵer? Hynny yw, o dan ba amodau y gall y f-adau f (x) yn cael ei gynrychioli gan gyfres pŵer? Mae pwysigrwydd y mater hwn yw ei bod yn bosibl i gymryd lle oddeutu £ Diwinyddol f (x) yw swm yr ychydig dermau gyntaf mewn cyfres pŵer, mae hynny'n polynomial. swyddogaeth newydd o'r fath yn fynegiant eithaf syml - polynomial - yn gyfleus ac wrth ddatrys problemau penodol mewn dadansoddi mathemategol, sef wrth ddatrys integrynnau wrth gyfrifo'r hafaliadau differol , ac ati ...

Mae'n profi, yn achos rhai f-ii f (x), yn yr hon y gall y deilliadau y (n + 1) gorchymyn -th yn cael ei gyfrifo, gan gynnwys y diweddaraf yng nghyffiniau (α - R; x ₀ + R) o bwynt x = α fformiwla deg yw:

Mae'r fformiwla yn cael ei enwi ar ôl y gwyddonydd enwog Brooke Taylor. Gelwir nifer ohonynt yn deillio o'r un blaenorol, yn gyfres Maclaurin:

Mae rheol sy'n ei gwneud hi'n bosibl i gynhyrchu ehangu mewn cyfres Maclaurin:

1. Penderfynu deilliadau o cyntaf, ail, trydydd, ... archeb.
2. Cyfrifwch beth yw deilliadau yn x = 0.
3. Cofnod gyfres Maclaurin ar gyfer y swyddogaeth hon, ac yna i benderfynu ar y cyfnod o gydgyfeirio.
4. Penderfynu cyfwng (-R; R), lle mae'r rhan gweddilliol fformiwla Maclaurin

R _n (x) -> 0 ar gyfer n -> anfeidredd. Os yw un yn bodoli, rhaid iddo ffwythiant f (x) yn hafal i swm y gyfres Maclaurin.

Ystyriwch nawr y gyfres Maclaurin ar gyfer y swyddogaethau unigol.

1. Felly, y cyntaf i gael ei f (x) = e ^x. Wrth gwrs, bod eu nodweddion fel f-Ia wedi deillio amrywiaeth o orchmynion, ac f ^{(k) (x)} = e ^x, lle mae k yn hafal i holl rhifau naturiol. Yn lle x = 0. Rydym yn cael f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Yn seiliedig ar yr uchod, mae nifer o e ^x Bydd yn fel a ganlyn:

2. Cyfres Maclaurin ar gyfer f ffwythiant (x) = sin x. Yn syth yn nodi bod f-adau ar gyfer yr holl ffactorau anhysbys yn cael eu deillio, heblaw f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), lle mae k yn hafal i unrhyw gyfanrif positif. Hynny yw, gwneud cyfrifiadau syml, gallwn ddod i'r casgliad bod y gyfres ar gyfer f (x) = Bydd sin x fod fel hyn:

3. Nawr, gadewch i ni ystyried iju f-f (x) = cos x. Nid yw'n hysbys i bob deilliadau o drefn mympwyol, a ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Unwaith eto, ar ôl gwneud rhai cyfrifiadau, rydym yn gweld bod y gyfres ar gyfer f (x) = cos x yn edrych fel hyn:

Felly, rydym wedi rhestru nodweddion pwysicaf y gellir ei ehangu mewn cyfres Maclaurin, ond maent yn cyd-fynd â'r gyfres Taylor ar gyfer rhai swyddogaethau. Nawr byddwn yn eu rhestru hefyd. Dylid nodi hefyd bod Taylor gyfres a chyfres Maclaurin yn rhan bwysig o'r gyfres gweithdy o benderfyniadau mewn mathemateg uwch. Felly, Taylor gyfres.

1. Y cyntaf yw cyfres o f-ii f (x) = ln (1 + x). Fel yn yr enghreifftiau blaenorol, er ein bod hwn f (x) = ln (1 + x) y gellir eu plygu rhif, gan ddefnyddio'r ffurflen gyffredinol gyfres Maclaurin. ond ar gyfer y nodwedd hon Gellir Maclaurin ar gael yn llawer haws. Integreiddio cyfres geometrig, rydym yn cael nifer gyfer f (x) = ln (1 + x) y sampl:

2. A'r ail, a fydd yn derfynol yn yr erthygl hon, bydd cyfres ar gyfer f (x) = arctg x. Ar gyfer x perthyn i'r cyfwng [-1: 1] yw dadelfeniad ddilys:

Dyna i gyd. Yn yr erthygl hon rwyf wedi cynnal arolwg o'r gyfres Taylor a ddefnyddir fwyaf a chyfres Maclaurin mewn mathemateg yn uwch, yn enwedig yn y colegau economaidd a thechnegol.